Спектральные подпространства пространства $L^p$ при $p<1$

Пусть $\Omega$ – открытое подмножество пространства $\mathbb{R}^n$. Обозначим через $L^p_{\Omega}(\mathbb{R}^n)$ замыкание в пространстве $L^p(\mathbb{R}^n)$ множества всех функций $\varepsilon\in L^1(\mathbb{R}^n)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$, носитель преобразования Фурье которых является компактным подмножеством множества $\Omega$. Подпространства вида $L^p_\Omega(\mathbb{R}^n)$ будем называть спектральными подпространствами пространства $L^p(\mathbb{R}^n)$. Легко видеть, что каждое спектральное подпространство инвариантно относительно сдвигов, т.е. $f(x+a)\in L^p_\Omega(\mathbb{R}^n)$ для любой функции $f\in L^p_\Omega(\mathbb{R}^n)$ и любого вектора $a\in\mathbb{R}^n$. Мы приводим достаточные условия для равенства $L^p_\Omega(\mathbb{R}^n)=L^p(\mathbb{R}^n)$. В частности, мы строим пример множества $\Omega$, для которого это равенство имеет место при достаточно маленьких $p$, но не при всех $p\in(0,1)$. Кроме того, мы исследуем функционал $f\mapsto(\mathcal{F} f)(a)$, где $a\in\Omega$, первоначально определённый на достаточно “хороших” функциях пространства $L^p_\Omega(\mathbb{R}^n)$. Нас интересует вопрос об ограниченности этого функционала. В частности, мы получаем оценки нормы этого функционала. Аналогичные вопросы мы рассматриваем также для спектральных подпространств пространства $L^p(G)$, где $G$ – локально компактная абелева группа.