Одномерные квазирешетки Фибоначчи и их приложения к диофантовым уравнениям и алгоритму Евклида

Классифицированы одномерные квазирешетки $\mathcal{L}$, содержащиеся в квадратной квазирешетке Фибоначчи $\mathcal{F}^2=\mathcal{F}\times\mathcal{F}$, где $\mathcal{F}$ – одномерная квазирешетка Фибоначчи. Доказано существование счетного множества классов подобных квазирешеток $\mathcal{L}$ из $\mathcal{F}^2$ (тонкая классификация), а также существование четырех классов локальной эквивалентности квазирешеток $\mathcal{L}$ (грубая классификация).
Найдены асимптотические распределения точек на квазирешетках $\mathcal{L}$ и получены их приложения к диофантовым уравнениям, содержащим функцию $[\alpha]$ – целая часть $\alpha$, и к уравнениям вида $A_1\circ X_1-A_2\circ X_2=C$, где коэффициенты $A_i$, $C$ и переменные $X_i$ принимают значения из $\mathbb {N}=\{1,2,3,\dots\}$, $\circ$ – круговое умножение Кнута.