Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности высоких порядков в пространствах функций, заданных на отрезке

В статье разрабатывается схема оценки функционалов через величины, упомянутые в названии. Постоянные в оценках указываются явно. Примерами служат неравенства типа Джексона для наилучших приближений многочленами и сплайнами, оценки погрешностей интерполяционных формул, формул численного дифференцирования и интегрирования. Приведем одно из утверждений. В нем $E$ – отрезок, $|E|$ – его длина, $E_{n-1}$ – равномерное наилучшее приближение многочленами степени не выше $n-1$, $\omega_{2m}$ – равномерный модуль непрерывности порядка $2m$, $\mathcal K_r=\frac4\pi\sum_{\nu=0}^\infty\frac{(-1)^{\nu(r+1)}}{(2\nu+1)^{r+1}}$ – константы Фавара, $\mathcal W_{2m}$ – константы Уитни, $\nu_m=\frac8{C_{2m}^m}\sum_{l=0}^{\lfloor(m-1)/2\rfloor}\frac{C_{2m}^{m-2l-1}}{(2l+1)^2}$. Пусть $m\ge2$, $n\ge2m$, $\gamma>0$, $f\in C(E)$. Тогда
\begin{align*} E_{n-1}(f)&\leqslant\Big(\frac1{C_{2m}^m}\Big(1+\frac{\nu_m}{\gamma^2}\frac{\mathcal K_2}4+\sum_{k=2}^{m-1}\frac{\mathcal K_{2k}}{2^{2k}}\frac{(2m-2k)!\,(2m)^{2k}}{(2m)!} \frac{\nu_m^k}{\gamma^{2k}}\Big)\\ &+\frac{\mathcal K_{2m}}{2^{2m}}\frac{(2m)^{2m}}{(2m)!} \frac{\nu_m^m}{4^m\gamma^{2m}}\Big)(2^{2m}-1)\mathcal W_{2m}\omega_{2m}\Big(f,\frac{\gamma|E|}n\Big). \end{align*}