Локальная гладкость аналитической функции в сравнении с гладкостью ее модуля

Пусть функция $\Phi$ аналитична в круге и непрерывна вплоть до границы, а ее модуль удовлетворяет условию Гёльдера порядка $\alpha$, $0<\alpha<2$, в одной граничной точке. При обычных в этом круге вопросов предположениях о нулях функции $\Phi$ гарантирована гладкость (в некоем интегральном смысле) порядка $\alpha/2$ для $\Phi$ в той же точке. Имеются обобщения на гёльдеровы гладкости не обязательно степенного типа.