К теории классов Орлича–Соболева

Показано, что открытые отображения классов Орлича–Соболева $W^{1,\varphi}_\mathrm{loc}$ при условии типа Кальдерона на функцию $\varphi$ имеют полный дифференциал почти всюду, что является распространением хорошо известного результата Меньшова–Геринга–Лехто на плоскости и теоремы Вяйсяля в $\mathbb R^n$, $n\geqslant3$. Соответствующие примеры показывают, что условие типа Кальдерона является не только достаточным, но и необходимым. Кроме того, также доказано, что непрерывные отображения $f$ класса $W^{1,\varphi}_\mathrm{loc}$ при условии типа Кальдерона на функцию $\varphi$ обладают $(N)$-свойством Лузина на почти всех гиперплоскостях; в частности, сказанное относится к отображениям классов Соболева $f\in W^{1,p}_\mathrm{loc}$ при $p>n-1$. На этой основе показано, что гомеоморфизмы $f$ с конечным искажением, принадлежащие классам $W^{1,\varphi}_\mathrm{loc}$ при том же условии на $\varphi,$ в частности, $f\in W^{1,p}_\mathrm{loc}$, $p>n-1$, являются так называемыми нижними $Q$-гомеоморфизмами, где функция $Q(x)$ равна внешней дилатации $K_f(x)$, и кольцевыми $Q_*$-гомеоморфизмами с $Q_*(x)=[K_f(x)]^{n-1}$. Последнее обстоятельство позволяет применить в полном объеме ранее развитую нами теорию к изучению локального и граничного поведения отображений классов Орлича–Соболева.