Усреднение эллиптических операторов с периодическими коэффициентами в зависимости от спектрального параметра

Рассматривается дифференциальное выражение вида $b(\mathbf D)^* g(\mathbf x/\varepsilon)b(\mathbf D)$, $\varepsilon>0$, где $g(\mathbf x)$ – ограниченная и положительно определенная матрица-функция в $\mathbb R^d$, периодическая относительно некоторой решетки; $b(\mathbf D)=\sum_{l=1}^db_lD_l$ – дифференциальный оператор первого порядка с постоянными коэффициентами. На символ $b(\boldsymbol\xi)$ накладывается условие, обеспечивающее сильную эллиптичность. В пространстве $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ выражение $b(\mathbf D)^* g(\mathbf x/\varepsilon)b(\mathbf D)$ порождает оператор $\mathcal A_\varepsilon$. В пространстве $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$, где $\mathcal O\subset\mathbb R^d$ – ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$, рассматриваются операторы $\mathcal A_{D,\varepsilon}$ и $\mathcal A_{N,\varepsilon}$, порожденные этим выражением при условиях Дирихле или Неймана на границе. Для резольвент $(\mathcal A_\varepsilon-\zeta I)^{-1}$, $(\mathcal A_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$, $(\mathcal A_{N,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ получены аппроксимации в различных операторных нормах с оценками погрешности в зависимости от $\varepsilon$ и $\zeta$.