Замечания об $\mathrm A_p$-регулярных решетках измеримых функций

Банахова решетка $X$ измеримых функций на пространстве однородного типа называется $\mathrm A_p$-регулярной, если для всякой функции $f\in X$ найдется мажоранта $g\geqslant|f|$ из класса Макенхаупта $\mathrm A_p$ с подходящим контролем нормы и константы. Хорошо известно, что $\mathrm A_p$-регулярность решетки $X'$ при $p>1$ влечет ограниченность максимального оператора Харди–Литлвуда в решетке $X^{\frac1p}$ (эквивалентно, $\mathrm A_1$-регулярность этой решетки), где $X'$ – порядково сопряженная решетка для $X$, и предполагается, что она нормирующая для $X$. Этот результат допускает обращение следующего вида: $\mathrm A_1$-регулярность решетки $X^{\frac1p}(l^p)$ влечет $\mathrm A_p$-регулярность решетки $X'$, а для решеток $X$, обладающих свойством Фату, эти условия эквивалентны $\mathrm A_1$-регулярности обеих решеток $X^{\frac1p}$ и $\left(X^{\frac1p}\right)'$. Данное наблюдение позволяет получить некоторую точную форму самодвойственности свойства $\mathrm{BMO}$-регулярности, установить $\mathrm A_q$-регулярность решеток $\mathrm L_\infty(l^p)$ при всех $1<p,q<\infty$ и показать, что во многих случаях из $\mathrm A_1$-регулярности решеток $Y$ и $Y'$ следует $\mathrm A_1$-регулярность решетки $Y(l^s)$ при всех $1<s<\infty$, а значит, и ограниченность операторов Кальдерона–Зигмунда в решетке $Y(l^s)$.