Порядковые и геометрические свойства множества банаховых пределов

Положительный функционал $B$ на пространстве ограниченных последовательностей $\ell_\infty$ называется банаховым пределом, если $\|B\|_{\ell_\infty^*}=1$ и $B(x_1,x_2,x_3,\dots)=B(0,x_1,x_2,\dots)$ для всех $x=(x_1,x_2,x_3,\dots)\in\ell_\infty$. Множество всех банаховых пределов обозначается через $\mathfrak B$, а множество его крайних точек – через $\operatorname{ext}\mathfrak B$. Различные свойства этих множеств рассматриваются. Например, существует такой $B\in\operatorname{ext}\mathfrak B$, что $Bx=0$, если $x\in\ell_\infty$ и $\lim_{n\to\infty}(|x_1|+\dots+|x_n|)/n=0$. Множество $\mathfrak B$ не обладает $FP$-свойством для нерастягивающего, аффинного, секвенциально слабо$^*$ непрерывного отображения. Доказывается общий результат, из которого вытекает недополняемость в $\ell_\infty$ широкого класса подпространств, определяемых с помощью банаховых пределов (в частности, стабилизатора $\mathcal D (ac_0)$ и идеального стабилизатора $\mathcal I(ac_0)$ пространства $ac_0$ всех почти сходящихся к нулю последовательностей $x$, т.е. $Bx=0$ для всех $B\in\mathfrak B$). Вторая часть работы посвящена изучению множества $\mathfrak B(\sigma_m)$ банаховых пределов, инвариантных относительно оператора растяжения $\sigma_m$ на $\ell_\infty$, где $m\in\mathbb N$, т.е.
$$ \sigma_m(x_1,x_2,\dots)=(\underbrace{x_1,x_1,\dots,x_1}_m,\underbrace{x_2,x_2,\dots,x_2}_m,\dots). $$
Если $m\ge2$, то для всякого $i\in\mathbb N$, $i\ge2$, включение $\mathfrak B(\sigma_m)\subseteq\mathfrak B(\sigma_{m^i})$ собственное и существует $B\in\mathfrak B(\sigma_m)$, для которого $B\notin\mathfrak B(\sigma_n)$ для всех $n\in F_m=\mathbb N\setminus\{1,m,m^2,\dots\}$ и $\|B-B_1\|_{\ell_\infty^*}=2$ для всех $B_1\in\mathfrak B(\sigma_n)$, если $n^j\in F_m$ для всех $j\in\mathbb N$. Если $B_1\in\mathfrak B(\sigma_m)$ и $B_2\in\operatorname{ext}\mathfrak B$, то справедливо равенство $\|B_1-B_2\|_{\ell_\infty^*}=2$. Кроме того, даются оценки для мощностей крайних точек некоторых подмножеств $\mathfrak B$ и, в частности, доказывается тождество $\operatorname{card}\big(\operatorname{ext}\bigcap_{m=1}^\infty\mathfrak B(\sigma_m)\big) =2^\mathfrak c$.