Усреднение задачи Дирихле для эллиптических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами

Пусть $\mathcal O\subset\mathbb R^d$ – ограниченная область класса $C^{2p}$. В пространстве $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$ изучается самосопряженный сильно эллиптический оператор $A_{D,\varepsilon}$ порядка $2p$, $p\geqslant2$, заданный выражением $b(\mathbf D)^*g(\mathbf x/\varepsilon)b(\mathbf D)$, $\varepsilon>0$, при условиях Дирихле на границе. Здесь $g(\mathbf x)$ – ограниченная и положительно определенная $(m\times m)$-матрица-функция в $\mathbb R^d$, периодическая относительно некоторой решетки; $b(\mathbf D)=\sum_{|\alpha|=p}b_\alpha\mathbf D^\alpha$ – дифференциальный оператор порядка $p$ с постоянными коэффициентами; $b_\alpha$ – постоянные $(m\times n)$-матрицы. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol\xi)$ имеет максимальный ранг. Для резольвенты $(A_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ получены аппроксимации по операторной норме в $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal O;\mathbb C^n)$ в пространство Соболева $H^p(\mathcal O;\mathbb C^n)$, с оценками погрешности в зависимости от $\varepsilon$ и $\zeta$.