Задача об идеалах алгебры $H^\infty$ в случае некоторых пространств последовательностей

В этой статье продолжается изучение метрических аспектов задачи об идеалах. Пусть даны функция $h\in H^\infty(\mathbb D)$ и векторнозначная функция $f\in H^\infty(\mathbb D;E)$, принимающая значения в некоторой решётке последовательностей $E$, которые дополнительно удовлетворяют следующему условию: $|h(z)|\le\|f(z)\|^\alpha_E\le1$ для некоторого показателя $\alpha$. Необходимо найти такую функцию $g\in H^\infty(\mathbb D;E')$ со значениями в порядково двойственной решётке $E'$, что $\sum f_jg_j=h$, контролируя при этом величину нормы $\|g\|_{H^\infty(E')}$. Классический случай $E=l^2$ был установлен В. А. Толоконниковым в 1981 году. Недавно автору удалось получить подобный результат для пространства $E=l^1$. В этой работе будет показано, что утверждение справедливо в случае, когда $E$ – $q$-вогнутая банахова решётка, в частности, для $E=l^p$ с произвольным $p\in[1,\infty)$.