Усреднение и двухмасштабная сходимость в соболевском пространстве с осциллирующим показателем

Изучается с учетом эффекта Лаврентьева двухмасштабная сходимость в пространстве Орлича–Соболева на ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^d$ с $\varepsilon$-периодическим показателем $p_\varepsilon(x)=p(x/\varepsilon)$, $\varepsilon\in(0,1]$. Доказана структурная теорема для двухмасштабного предела последовательности потенциальных полей $\nabla u^\varepsilon$, принадлежащих пространству Орлича–Лебега $L^{p_\varepsilon(\cdot)}(\Omega)$ при условии равномерной по $\varepsilon$ ограниченности норм $\|\nabla u^\varepsilon\|_{L^{p_\varepsilon(\cdot)}(\Omega)}$. Аналогичная структурная теорема доказана для двухмасштабного предела последовательности соленоидальных полей. Эти результаты необходимы для обоснования процедуры усреднения монотонных уравнений вида $\operatorname{div}A(x/\varepsilon,\nabla u^\varepsilon)=\operatorname{div}F$, где $\varepsilon$-периодический по пространственной переменной символ $A(x/\varepsilon,\xi)$ удовлетворяет по $\xi$ условиям коэрцитивности и роста степенного типа с показателем $p_\varepsilon(x)$. Подобные уравнения возникают, например, в известных моделях электрореологических и термореологических жидкостей или в модели термистора.