Усреднение стационарной периодической системы Максвелла в ограниченной области в случае постоянной магнитной проницаемости

В ограниченной области $\mathcal O\subset\mathbb R^3$ класса $C^{1,1}$ рассматривается стационарная система Максвелла при условиях идеальной проводимости на границе. Предполагается, что магнитная проницаемость задана постоянной положительной $(3\times3)$-матрицей $\mu_0$, а диэлектрическая проницаемость имеет вид $\eta(\mathbf x/\varepsilon)$, где $\eta(\mathbf x)$ – вещественная $(3\times3)$-матрица-функция, периодическая относительно некоторой решетки, ограниченная и положительно определенная. Здесь $\varepsilon>0$ – малый параметр. Считается, что уравнение, содержащее ротор магнитной напряженности, однородно, а правая часть $\mathbf r$ второго уравнения – соленоидальная вектор-функция класса $L_2$. Известно, что при $\varepsilon\to0$ решения системы Максвелла – электрическая напряженность $\mathbf u_\varepsilon$, электрическая индукция $\mathbf w_\varepsilon$, магнитная напряженность $\mathbf v_\varepsilon$ и магнитная индукция $\mathbf z_\varepsilon$ слабо сходятся в $L_2$ к соответствующим усредненным полям $\mathbf u_0$, $\mathbf w_0$, $\mathbf v_0$, $\mathbf z_0$ (решениям усредненной системы Максвелла с эффективными коэффициентами). Мы усиливаем классические результаты. Показано, что поля $\mathbf v_\varepsilon$ и $\mathbf z_\varepsilon$ сходятся к $\mathbf v_0$ и $\mathbf z_0$ соответственно по норме в $L_2$, причем погрешности оцениваются через $C\varepsilon\|\mathbf r\|_{L_2}$. Для полей $\mathbf v_\varepsilon$ и $\mathbf z_\varepsilon$ получены также аппроксимации по энергетической норме с точностью $C\sqrt\varepsilon\|\mathbf r\|_{L_2}$. Для $\mathbf u_\varepsilon$ и $\mathbf w_\varepsilon$ найдены аппроксимации по норме в $L_2$ с погрешностями $C\sqrt\varepsilon\|\mathbf r\|_{L_2}$.