Алгебро-геометрические инварианты квадратичных форм

Пусть характеристика поля $F$ не равна 2; $\varphi$ – квадратичная форма над полем $F$ размерности $n$; $X_{\varphi}$ – квадрика в проективном пространстве $\mathbb P_F^{n-1}$, определенная уравнением $\varphi=0$. Исследуются два инварианта квадратичной формы $\varphi$: кольцо Чжоу $\mathrm{CH}^*X_{\varphi}$ квадрики $X_{\varphi}$ и градуированное кольцо $G^*K_0(X_{\varphi})$, ассоциированное с топологической фильтрацией на кольце Гротендика $K_0(X_{\varphi})$. Кольцо $\mathsf{CH}^*X_{\varphi}$ вычисляется для всех квадратичных форм, размерность которых не превосходит 6; кольцо $G^*K_0(X_{\varphi})$– для форм размерности $\leq 7$ и 8-мерных квадратичных форм определителя 1. Для квадратичной формы произвольной размерности вычисляются компоненты $CH^2X_{\varphi}$ и $G^{n-3}K_0(X_{\varphi})$. Важную роль в получении этих результатов играет вычисление Суона $K$-теории квадрик (Swan R. G. $K$-theory of quadric hypersurfaces // Ann. Math. 1985. Vol. 122, N 1, P. 113–154).