Объёмные отношения для декартовых произведений выпуклых тел

В настоящей работе обсуждается поведение объёмных отношений, модифицированного расстояния Банаха–Мазура и индекса вершин на суммах выпуклых тел. Доказано, что $\sup_{\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^{n-k}} \mathrm{vr} (\mathcal{K},\mathcal{L}\oplus\mathcal{M}) \geq c n^{\frac{1}{2}-\frac{k}{2n}}$ для выпуклых тел $\mathcal{K}\subset\mathbb{R}^n$ и $\mathcal{L}\subset\mathbb{R}^k$ и для симметричных выпуклых тел $\mathcal{K}\subset\mathbb{R}^k$ и $\mathcal{L}\subset\mathbb{R}^{k'}$
$$ \sup\mathop{d}\,(\mathcal{A}\oplus\mathcal{K},\mathcal{B}\oplus\mathcal{L}) \geq \sup\mathop{d}\, (\mathcal{A}\oplus\mathcal{K},\mathcal{B}\oplus\mathcal{L}) \geq c \cdot n^{1-\frac{k+k'}{2n}}, $$
где $\sup$ берется по всем симметричным выпуклым телам $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^{n-k}$ и $\mathcal{B}\subset\mathbb{R}^{n-k'}$. Помимо этого в работе обсуждаются примеры, показывающие грубость оценки индекса вершин через объёмные отношения.