Весовое неравенство Литлвуда–Пэли для произвольных прямоугольников в $\mathbb{R}^2$

В работе доказываются весовые аналоги односторонних неравенств Литлвуда–Пэли для произвольных прямоугольников в $\mathbb{R}^2$.
Пусть $\mathcal{I}$ — какое-то разбиение плоскости $\mathbb{R}^2$ на прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат, а $w( \cdot , \cdot )$ — некоторый вес на плоскости, пусть еще $\widehat{M_I f} = \widehat{f} \chi_{I}$. Для показателей $p$ в интервале $2 < p < \infty$ и веса $w$, удовлетворяющего условию Макенхаупта с показателем ${p/2}$ (имеется в виду вариант условия Макенхаупта, в котором супремумы берутся по всевозможным прямоугольникам, а не только по квадратам), устанавливается неравенство
$$ c_{p, w} ||\{M_I f\}_{I \in \mathcal{I}}||_{L^p_w(l^2)} \leq ||f||_{L_w^p} . $$
Для показателей $p$ в интервале $0 < p < 2$ и веса $w$, удовлетворяющего некоторому условию $\alpha_{r(p)}$, являющемуся в определенном смысле двойственным к условию Макенхаупта, устанавливается неравенство
$$ \Big\|\sum\limits_{I \in \mathcal{I}} f_I\Big\|_{L^p_w} \leq C_{p, w} || \left\{ f_I \right\}_{I \in \mathcal{I}}||_{L^p_w(l^2)} , \text{ где } \mathrm{supp}\,{\widehat{f_I}} \subseteq I \text{ для } I \in \mathcal{I}. $$
Последнее неравенство обобщает соответствующий безвесовой результат Осипова, полученный в 2010 году, а первое — безвесовой результат Журне, полученный в 1985 году. Используемая техника основывается на теории двупараметрических сингулярных интегральных операторов и соответствующих классов Харди, разработанной Р. Фефферманом и на некоторых современных ее обобщениях на весовой случай.