Асимптотика спектра задачи Неймана в сингулярно вырождающихся тонких областях. I

Найдены асимптотические формулы для собственных чисел задачи Неймана в области $\Omega_{\varepsilon}$, зависящей от малого параметра $\varepsilon$. Эта область получается объединением “сферического слоя” переменной толщины порядка $\varepsilon$ и конечного числа тонких “цилиндров-отростков” переменного сечения, в пределе при $\varepsilon\to 0$ область $\Omega_{\varepsilon}$ переходит в сферу с торчащими из нее отрезками. Для определения коэффициентов в асимптотических формулах выводится “предельная” несамосопряженная краевая задача, содержащая, в частности, условия согласования решений уравнений на отрезках с решением уравнения на сфере. Указываются все возможные варианты асимптотики собственных чисел, исследование мотивировано некоторыми вопросами, возникшими в теории биологических мембран.