Эффективный алгоритм для выяснения разрешимости системы полиномиальных уравнений над кольцом целых $p$-адических чисел

Рассмотрим систему полиномиальных уравнений от $n$ переменных степени не больше $d$ с целыми коэффициентами с длиной записи не больше $M$. Мы доказываем при помощи конструкции близкой к гладкой стратификации алгебраических многообразий, что можно построить соответствующее этой системе положительное целое число
$$ \Delta < 2^{M(nd)^{c 2^n n^3}} $$
(здесь $c>0$ является константой), удовлетворяющее следующему свойству. Для всякого простого числа $p$ рассматриваемая система имеет решение в кольце целых $p$-адических чисел в том и только в том случае, если она имеет решение по модулю $p^N$ для наименьшего целого числа $N$ такого, что $p^N$ не делит $\Delta$. Это улучшает известный ранее, ставший классическим, результат Б. Дж. Бёрча и К. МасКанна.