Обзоры
The property of unique continuation in certain spaces spanned by rational functions on compact nowhere dense sets
[Свойство однозначного продолжения в некоторых пространствах, порождённых рациональными функциями, на компактных нигде не плотных множествах]
J. E. Brennan Department of Mathematics University of Kentucky Lexington, KY 40506, USA
Аннотация:
Уже более ста лет известно, что некоторые обширные классы функций, определенные на компактном нигде не плотном подмножестве
$X$ комплексной плоскости и полученные как пределы аналитических функций в различных метриках, иногда могут наследовать свойство однозначного продолжения, характерное для аппроксимирующего семейства. Первый пример такого переноса единственности на
$R(X)$, пространство функций, которые можно равномерно приблизить на
$X$ последовательностью рациональных функций, полюса которых лежат за пределами
$X$, был получен М. В. Келдышем примерно в 1940 году, но, по-видимому, так и не был опубликован. Годы спустя, в 1975 году, А. А. Гончар качественно улучшил пример Келдыша, и наша цель здесь — распространить этот результат на
$R^p (X, dA)$,
$p \geq 2,$. Очевидно, это — более широкое пространство; оно получется замыканием рациональных функций в
$L^p(X, dA)$, где
$dA$ обозначает двумерную меру Лебега, или площадь.
Ключевые слова:
Рациональная аппроксимация, швейцарский сыр, теорема Денжуа–Карлемана, точечные производные, ядро Бергмана. Поступила в редакцию: 02.05.2024
Язык публикации: английский