Банаховы циклические (ко)гомологии как банаховы производные функторы

Вначале, исходя из заданной малой категории $\mathcal{K}$, строится некоторая банахова алгебра $\underline{\mathcal{K}}$, позволяющая отождествить каждый ко/контра/вариантный функтор из $\mathcal{K}$ в $\mathcal{B}\dashv\setminus_1$ с левым (правым) банаховым $\underline{\mathcal{K}}$-модулем. В частности, каждое коциклическое банахово пространство $E$ отождествляется с некоторым левым банаховым $\underline{\Lambda}$-модулем, где $\Lambda$ – стандартная циклическая категория А. Конна.
Основной результат статьи утверждает, что после такого отождествления имеет место равенство $\mathcal{H}C^n(E)=\mathrm{Ext}^n_{\underline{\Lambda}}(\natural,E)$; $n=0,1,\dots;$ здесь $\mathcal{H}C(\cdot)$ – банаховы циклические когомологии, $\mathrm{Ext}$ – банахов функтор соответствующего типа, а $\natural$ – нециклическое пространство $(\mathbb{C},\mathbb{C},\mathbb{C},\dots)$ с тождественными операторами. Установлены аналогичное равенство для банаховых симплициальных когомологии – с заменой $\Lambda$ на стандартную симплициальную категорию $\Delta$, а также варианты обоих утверждений для банаховых гомологии; в последних роль функтора $\mathrm{Ext}$ переходит к банахову функтору Тог.
Помимо этого, обсуждена возможность построения банахова варианта точной последовательности Конна–Цыгана, связывающей циклические когомологии с симплициальными. Известный случай банаховых алгебр без единицы, для которых такая последовательность может не существовать, включен в общую схему когомологии так называемых предкоциклических банаховых пространств. Они определены, исходя из подкатегории $V$ в $\Lambda$, получающейся после удаления из последней морфизмов вырождения. Показано, что для предкоциклического $F$ точная последовательность Конна–Цыгана существует в том и только в том случае, когда пространства $\mathrm{Ext}^n_{\underline V}(\underline{\mathbb C}, F)$, где $\underline{\mathbb{C}}=(\mathbb{C},0,0,\dots)$, тривиальны для всех $n=0,1,\dots$