Компактная четырехмерная экзотика с небольшими гомологиями

Строится бесконечное семейство гладких компактных односвязных четырехмерных многообразий с краем гомологическая сфера Пуанкаре и со вторым числом Бетти 2, которые гомеоморфны друг другу, но попарно нециффеоморфны. Строится бесконечное семейство сфер, вложенных в $\mathbf CP^2\ne2\overline{\mathbf CP}{}^2$ с одной точкой неглацкости каждая, переводящиеся друг в друга гомеоморфизмами объемлющего многообразия, гладкими на некоторых окрестностях этих сфер, но не переводящиеся друг в друга его диффеоморфизмами. Доказывается, что некоторые пары топологических логарифмических преобразований, которые, не меняя топологического типа многообразия $\mathbf CP^2\ne9\overline{\mathbf CP}{}^2$, изменяют его дифференциально-топологический тип, сохраняют дифференциально-гопологический тип многообразия $S^2\times S^2$.