RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Алгебра и анализ // Архив

Алгебра и анализ, 1989, том 1, выпуск 5, страницы 74–94 (Mi aa42)

Эта публикация цитируется в 2 статьях

Статьи

Коллапсирующие многообразия неположительной кривизны. I

С. В. Буяло

Ленинградский педагогический институт им. А. И. Герцена

Аннотация: Семейство римановых метрик $g_\delta$ на многообразии $M$ коллапсирует, если радиусы инъективности этих метрик $\to0$ равномерно на $M$, а секционные кривизны ограничены при $\delta\to0$. Вводится понятие Cr-структуры: это дифференциально-топологическая структура на гладком многообразии, которая близка, с одной стороны, к $F$-структуре в смысле Чигера и Громова (РЖмат, 1987, ЗА704), а с другой — к понятию графа многообразий. Грубо говоря, если на $M^n$ есть Cr-структура, то $M^n$ является объединением своих частей $M_i$, каждая из которых похожа на произведение $N^{n-k_i}\times T^{k_i}$, где $k_i>0$, $T^k$ — $k$-мерный тор, причем эти части прилегают друг к другу согласовано со структурой произведения. Основной результат состоит в следующем. Для $n=2,3,4$ существует такая постоянная $\epsilon(n)>0$, что если радиус инъективности $n$-мерного замкнутого риманова многообразия $M$ с секционными кривизнами $-1\le K\le 0$ всюду $<\epsilon(n)$, то метрика $M$ локально содержит евклидов сомножитель и на $M$ существует Cr-структура. В частности, на $M$ существует семейство римановых метрик, коллапсирующее с объемом $\to0$, и равны нулю следующие инварианты $M$: эйлерова характеристика, симплициальный объем, минимальный объем, числа Понтрягина.

Ключевые слова: радиус инъективности, коллапсирующее семейство римановых метрик, Cr-структура, градуированное симплициальное пространство, евклидова $k$-плоскость, действие пучка групп, насыщенное множество.

Поступила в редакцию: 12.04.1989


 Англоязычная версия: Leningrad Mathematical Journal, 1990, 1:5, 1135–1155

Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024