Эта публикация цитируется в
2 статьях
Статьи
Коллапсирующие многообразия неположительной кривизны. I
С. В. Буяло Ленинградский педагогический институт им. А. И. Герцена
Аннотация:
Семейство римановых метрик
$g_\delta$ на многообразии
$M$ коллапсирует, если радиусы инъективности этих метрик
$\to0$ равномерно на
$M$, а секционные кривизны ограничены при
$\delta\to0$. Вводится понятие Cr-структуры: это дифференциально-топологическая структура на гладком многообразии, которая близка, с одной стороны, к
$F$-структуре в смысле Чигера и Громова (РЖмат, 1987, ЗА704), а с другой — к понятию графа многообразий. Грубо говоря, если на
$M^n$ есть Cr-структура, то
$M^n$ является объединением своих частей
$M_i$, каждая из которых похожа на произведение
$N^{n-k_i}\times T^{k_i}$, где
$k_i>0$,
$T^k$ —
$k$-мерный тор, причем эти части прилегают друг к другу согласовано со структурой произведения. Основной результат состоит в следующем. Для
$n=2,3,4$ существует такая постоянная
$\epsilon(n)>0$, что если радиус инъективности
$n$-мерного замкнутого риманова многообразия
$M$ с секционными кривизнами
$-1\le K\le 0$ всюду
$<\epsilon(n)$, то метрика
$M$ локально содержит евклидов сомножитель и на
$M$ существует Cr-структура. В частности, на
$M$ существует семейство римановых метрик, коллапсирующее с объемом
$\to0$, и равны нулю следующие инварианты
$M$: эйлерова характеристика, симплициальный объем, минимальный объем, числа Понтрягина.
Ключевые слова:
радиус инъективности, коллапсирующее семейство римановых метрик, Cr-структура, градуированное симплициальное пространство, евклидова $k$-плоскость, действие пучка групп, насыщенное множество. Поступила в редакцию: 12.04.1989