Весовые элементы групп Шевалле

Статья посвящена детальному изучению некоторых замечательных полупростых элементов (расширенных) групп Шевалле, которые диагонализуются над основным полем, – весовых элементов. Это сопряженные некоторых полупростых элементов $h_{\omega}(\varepsilon)$ расширенных групп Шевалле $\overline G=\overline G(\Phi,K)$, где $\omega$ является весом двойственной системы корней $\Phi^{\vee}$, а $\varepsilon\in K^*$. В присоединенном случае элементы $h_{\omega}(\varepsilon)$ определил сам Шевалле, а в односвязном случае их построили Берман и Муди. Сопряженные $h_{\omega}(\varepsilon)$ называются весовыми элементами типа $\omega$. Мы обсуждаем различные конструкции весовых элементов, в частности их действие в неприводимых рациональных представлениях, и весовые элементы, которые сопряжение элементами большей группы Шевалле индуцируют на регулярно вложенной подгруппе Шевалле. Мы доказываем, что для данного $x\in\overline G$ все элементы $x(\varepsilon)=xh_{\omega}(\varepsilon)x^{-1}$, $\varepsilon\in K^*$, кроме конечного числа, лежат в одной и той же клетке Брюа $\overline Bw\overline B$, где $w$ является инволюцией группы Вейля $W=W(\Phi)$. Элементы $h_{\omega}(\varepsilon)$ особенно важны в том случае, когда $\omega=\varpi_{i}$ – микровес $\Phi^{\vee}$. Основной результат статьи состоит в вычислении разложения Брюа микровесовых элементов $x(\varepsilon)$ для случая, когда $\omega=\varpi_{i}$. Оказывается, что нетривиальные элементы $x(\varepsilon)$ лежат в одной и той же клетке Брюа $\overline Bw\overline B$, где`$w$ является произведением отражений относительно попарно строго ортогональных корней $\gamma_1,\dots,\gamma_{r+s}$. Кроме того, если среди этих корней $r$ – длинные, а $s$ – короткие, то $r+2s$ не превосходит ширину унипотентного радикала $i$-й максимальной параболической подгруппы в $\overline G$. С технической точки зрения, этот результат сводится к нахождению орбит борелевской подгруппы фактора Леви параболической подгруппы с абелевым унипотентным радикалом и перекликается с некоторыми результатами Ричардсона, Рерле и Стейнберга. Эти результаты были одним из основных инструментов при описании надгрупп расщепимых максимальных торов и являются основой для построения геометрии микровесовых торов, предпринятого в недавних работах автора и В. Нестерова.