Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр

Рассматривается задача о представлении $\overrightarrow{N}_1+\overrightarrow{N}_2=D$ натурального числа $D$ в виде суммы двух чётно-фибоначчевых чисел $\overrightarrow{N}_i=F_1\circ N_i$, где $\circ$ – круговое умножение Фибоначчи. Для числа решений $s(D)$ доказана асимптотическая формула $s(D)=c(D)D+r(D)$, при этом $c(D)$ – непрерывная кусочно-линейная функция, и остаток $r(D)$ удовлетворяет неравенству
$$ |r(D)|\leq 5+\Bigl(\frac{1}{\ln 1/\tau}+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)\ln D, $$
где $\tau$ – золотое сечение.
Также изучается вопрос о распределении чётно-фибоначчевых чисел $\overrightarrow{N}$ по арифметическим прогрессиям $\overrightarrow{N}\equiv r\operatorname{mod}d$. Пусть $l_{F_1}(d,r,X)$ равно количеству $0\leq N\leq X$, удовлетворяющих данному сравнению. Тогда для $l_{F_1}(d,r,X)$ доказана асимптотическая формула
$$ l_{F_1}(d,r,X)=\frac{X}{d}+c(d)\ln X, $$
где $c(d)=O(d\ln d)$ и константа в $O$ не зависит от $X,d,r$. В частности, из указанной формулы вытекает равномерность распределения чётно-фибоначчевых чисел по прогрессиям для всех разностей $d=O(\frac{X^{1/2}}{\ln X})$.
Множество чётно-фибоначчевых чисел $\overrightarrow{\mathbb{Z}}$ представляет собой целочисленную модификацию хорошо известной одномерной квазирешётки Фибоначчи $\mathcal{F}$. Как и $\mathcal{F}$, множество $\overrightarrow{\mathbb{Z}}$ – квазирешётка, которая уже не будет model set. Однако показано, что их спектры $\Lambda_{\mathcal{F}}$ и $\Lambda_{\overrightarrow{\mathbb{Z}}}$ совпадают с точностью до масштабного множителя $\nu=1+\tau^2$ и для структурных амплитуд $f_{\overrightarrow{\mathbb{Z}}}(\lambda)$, где $\lambda=a+b\tau$ из спектра $\Lambda_{\overrightarrow{\mathbb{Z}}}$, получена явная формула
$$ f_{\overrightarrow{\mathbb{Z}}}(\lambda)= \frac{\sin(\pi b\tau)}{\pi b\tau}\exp(-3 \pi i\,b\tau). $$