Нумерология квадратных уравнений

В настоящей работе, которая является продолжением статьи “Как увидеть знаки структурных констант?”, мы показываем, как увидеть форму и знаки старшей вейлевской орбиты уравнений непосредственно по весовой диаграмме микровесового представления, а также присоединённого представления для случая систем без кратных связей. Рассматриваемый тип квадратных уравнений включает в качестве частных случаев равенство 0 миноров второго порядка, уравнения Плюккера в поливекторных и присоединённых представлениях классических групп, уравнения Картана в спинорных и полуспинорных представлениях, уравнения Бореля–Фрейденталя, определяющие проективную плоскость октав $\mathrm{E}_6/P_1$, и большую часть уравнений, определяющих многообразие Фрейденталя $\mathrm{E}_7/P_7$. В связи с планируемыми приложениями для построения разложения унипотентов в присоединённом случае наибольшее внимание уделено орбите старшего уравнения в присоединённом представлении групп типов $\mathrm{E}_6$, $\mathrm{E}_7$ и $\mathrm{E}_8$. Эта орбита состоит из 270, 756 или 2160 уравнений соответственно, и мы детально обсуждаем форму и знаки этих уравнений. Это обобщает теорему 3 работы автора “A third look at weight diagrams”, где рассматривался случай микровесовых представлений $\mathrm{E}_6$ и $\mathrm{E}_7$.