Конечность предельных циклов и теоремы единственности для асимптотически голоморфных функций

Мы доказываем теорему о конечности числа предельных циклов для квазианалитически гладких векторных полей на плоскости. Рассматриваются векторные поля, имеющие только невырожденные особые точки. Наш результат обобщает работы [1] и [2]. В нашей ситуации оказывается возможным вывести определенные квазианалйтические свойства преобразования монодромии. Эти свойства следуют из оценок на $\bar\partial$-производную продолжений преобразований монодромии в некоторые комплексные области. Вторая часть статьи посвящена функциям, удовлетворяющим таким оценкам на $\bar\partial$-производную (асимптотически голоморфным функциям). Для таких функций получены точные теоремы единственности, которые позволяют завершить доказательство теоремы конечности.