Операторы Ганкеля, теоремы вложения и базисы из коинвариантных подпространств оператора кратного сдвига

Рассматриваются следующие теоремы вложения, соответствующие обобщенным задачам свободной интерполяции:
$$ \int_\Lambda\|P_{\Theta_\lambda}f\|^2\,d\mu(\lambda)\le C\|f\|^2 \qquad \forall\,f\in H^2; $$
здесь $H^2$ — пространство Харди в круге, $\{\Theta_\lambda\}_{\lambda\in\sigma}$ — некоторое измеримое семейство внутренних функций, а $P_\Theta$ — ортопроектор в $H^2$ на $K_\Theta\overset{\text{def}}=H^2\ominus\Theta H^2$. Получено описание мер $\mu$, для которых имеет место данное вложение. Это описание обобщает известную теорему вложения Карлесона; суть его состоит в том, что вложение достаточно проверять только для простейших рациональных дробей вида $\varphi_{z_0}=\dfrac{(1-|z|^2)^{1/2}}{1-\bar z_0z}$. В первой главе полученное описание применяется к анализу условия Карлесона–Васюнина ($CV$), отвечающего за разрешимость обобщенных задач свободной интерполяции (безусловную базисность семейства подпространств $K_\Theta$). Во второй главе исследуется базисность семейства коинвариантных подпространств кратного сдвига (векторных подпространств $K_\Theta$). Доказано, что в случае конечной кратности безусловная базисность такого семейства равносильна его равномерной минимальности. Приведен анализ векторного условия Карлесона–Васюнина.