О единственности к свободной интерполяции гармонических функций в единичном круге

Рассматривается задача Коши для уравнения Лапласа в единичном круге с начальными данными на замкнутом подмножестве $E$ единичной окружности $({}^*)$. Для множеств $E$, на которых эта задача свободно разрешима (известно, что это так называемые пористые множества), получены некоторые оценки константы Банаха (т.е. наименьшей константы $\gamma>0$ такой, что для любых начальных данных существует решение с нормой $\leq\gamma$-норма начальных данных) через пористость множества $E$. Доказана также следующая теорема об аппроксимации в диск-алгебре, связь которой с проблемой единственности решения задачи $({}^*)$ объясняется во Введении: пусть $\mathcal В_E$ – подпространство дискталгебры, состоящее из функций, вещественная часть которых имеет нулевое среднее по каждой дополнительной дуге множества $E$. Тогда в $\mathcal B_E$ плотны $C^{\infty}$-функции, вещественная часть которых исчезает в окрестности множества $E'$.
Во Введении дан обзор результатов о единственности и свободной разрешимости задачи $({}^*)$, полученных в [1,2] и настоящей работе.