О математической модели необратимого квантового графа

Исследуется предложенная У. Смилянски [13] модель “необратимого квантового графа”. В математической постановке задача заключается в изучении спектра оператора $\mathbf A_\alpha$, определяемого бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений на графе и системой граничных условий, типа условий на скачок производных. Оператор зависит от параметра связи $\alpha\geq0$, входящего только в граничные условия.
В работе подробно исследуются точечный спектр и абсолютно непрерывный спектр оператора $\mathbf A_\alpha$ в зависимости от $\alpha$, при этом проявляются некоторые необычные эффекты. Основной из них – это “фазовый переход” при некотором значении $\alpha=\alpha_0$, зависящем от геометрии графа: спектральные свойства оператора при $\alpha<\alpha_0$ и при $\alpha>\alpha_0$ весьма различны.