$\mathrm {SL}_2(\mathbb R)$, экспоненциальное представление функций Герглотца и спектральное усреднение

Мы обращаемся к концепции спектрального усреднения и указываем на его тесную связь с однопараметрическими подгруппами группы $\mathrm {SL}_2(\mathbb R)$ и соответствующими преобразованиями Мёбиуса. В частности, мы показываем, что абсолютная непрерывность усредненной спектральной меры по отношению к мере Лебега следует из теоремы об экспоненциальном представлении функций Герглотца, причем роль плотности в этом представлении играет соответствующая функция спектрального сдвига. Побочным результатом наших исследований является универсальное описание спектрального усреднения как в случае одномерных возмущений самосопряженных операторов, так и в случае самосопряженных расширений симметричных операторов с индексами дефекта (1,1). Кроме того, мы проводим раздельное усреднение компонент спектральной меры, отвечающих точечному, абсолютно непрерывному и сингулярно непрерывному спектрам. В работе также содержится результат, касающийся усреднения непрерывных по отношению к $k$-мерной мере Хаусдорфа компонент сингулярных непрерывных мер.