Некоторые вопросы сходимости в слабых нормах

Пусть $U$ – нормированное пространство, компактно вложенное в пространство $V$, $\{U_n^*\}$ – последовательность конечномерных подпространств сопряженного пространства $U^*$
$$ U^{(n)}=\{u\in U\mid\chi(u)=0,\,\chi\in U_n^*\}. $$
Пусть $I_n$ – оператор вложения $U^{(n)}$ в $V$. Если, последовательность подпространств $\{U_n^*\}$ предельно плотна в $U^*$, то $\|I_n\|\to0$. В частности, если $\{P_n\}$ – последовательность конечномерных проекторов в $U$ и $\{\mathcal R(P_n^*)\}$ предельно плотна в $U^*$, то $\|u-P_nu\|_V/\|u-P_nu\|_U\to0$. Норма $\|I_n\|$ оценивается через наилучшее приближение элементов единичного шара в $V^*$ (он компактен в $U^*$) элементами из $U_n^*$. Общие теоремы о сходимости проекционных методов решения функциональных уравнений обычно диктуют метрику, в которой исследуется эта сходимость (например, энергетическая метрика в случае метода Ритца). Высказанные выше соображения позволяют устанавливать более быструю сходимость проекционных методов в более слабых метриках. В статье получены некоторые результаты такого рода по отношению к методам Ритца, Галеркина и моментов.