Характеризация циклотомических схем и нормальные кольца Шура над циклической группой

Хорошо известно, что циклотомическая схема $C$ на конечном поле $\mathbb F$ в общем случае не может быть охарактеризована с точностью до изоморфизма своими числами пересечений. Мы показываем, что числа пересечений некоторой схемы $\widehat{C}^{(b)}$ на $b$-й декартовой степени множества $\mathbb F$, где $b$ – базовое число группы $\operatorname{Aut}(C)$, образуют полное множество инвариантов для $C$. Здесь важно отметить, что $b\leq3$ для несобственной $C$ и что схема $\widehat{C}^{(b)}$ определяется для произвольной (не обязательно циклотомической) схемы $C$ чисто комбинаторным путем. Доказательство основного результата базируется на полном описании вводимых в данной статье нормальных колец Кэли и нормальных колец Шура над конечной циклической группой. Развитая техника позволяет установить, что произвольное кольцо Шура над циклической группой, отличное от группового, обладает нетривиальным автоморфизмом.