Усреднение параболической задачи Коши с периодическими коэффициентами при учёте корректора

Изучается широкий класс матричных эллиптических дифференциальных операторов $\mathcal A=\mathcal A(\mathbf x,\mathbf D)$ второго порядка с периодическими коэффициентами, действующих в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$. Предполагается, что $\mathcal A$ допускает факторизацию вида $\mathcal A=\mathcal X^*\mathcal X$, где $\mathcal X$ – однородный дифференциальный оператор первого порядка. Получена аппроксимация операторной экспоненты $e^{-\mathcal A\tau}$ при $\tau\to\infty$ по операторной норме в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ с погрешностью порядка $\tau^{-1}$. В аппроксимации учтён корректор. Результат применяется к вопросу об усреднении (гомогенизации) решений задачи Коши $\partial_\tau\mathbf u_\varepsilon=-\mathcal A_\varepsilon\mathbf u_\varepsilon$, где $\mathcal A_\varepsilon=\mathcal A(\mathbf x/\varepsilon,\mathbf D)$. Для $\mathbf u_\varepsilon$ получена аппроксимация с учётом корректора по норме в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ (при фиксированном $\tau>0$) с оценкой погрешности порядка $\varepsilon^2$.