Эта публикация цитируется в
2 статьях
Статьи
Классификация конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно-нормированных полей; касательное пространство и полустабильная редукция абелевых многообразий
М. В. Бондарко С.-Петербургский государственный университет
Аннотация:
Получена полная классификация конечных связных групповых схем над разнохарактеристическими полными дискретно-нормированными кольцами в терминах их модулей Картье. Доказана эквивалентность различных определений касательного пространства и размерности таких групповых схем; это дает равенство наименьшей размерности формального группового закона, содержащего данную конечную связную групповую подсхему
$S$, количеству порождающих координатного кольца
$S$. Выведены следующие критерии редукции абелевых многообразий.
Пусть
$K$ — разнохарактеристическое локальное поле с характеристикой поля вычетов
$p$,
$L$ — конечное расширение
$K$,
$\mathfrak{O}_K\subset\mathfrak{O}_L$ — их кольца вычетов,
$e$ — абсолютный индекс ветвления
$L$,
$s=[\log_p(pe/(p-1))]$,
$e_0$ — индекс ветвления
$L/K$,
$l=2s+v_p(e_0)+1$.
Для конечной плоской
$\mathfrak{O}_L$-групповой схемы
$H$ мы обозначаем
$\mathfrak{O}_L$-двойственный к
$J/J^2$ модуль через
$TH$, где
$J$ — идеал пополнения координатного кольца
$H$.
Пусть
$V$ —
$m$-мерное абелево многообразие над
$K$, имеющее полустабильную редукцию над
$L$.
Теорема (A)
{\it
$V$ имеет полустабильную редукцию над
$K$, если и только если для некоторой конечной групповой схемы
$H$ над
$\mathfrak{O}_K$ существует вложение
$H_K$ в
$\operatorname{Ker}[p^{l}]_{V,K}$ и
$({\mathfrak{O}_L}/p^l{\mathfrak{O}_L})^m$ в
$TH_{\mathfrak{O}_L}$.}
Теорема (B)
{\it
$V$ имеет невырожденную редукцию над
$K$, если и только если для некоторой схемы
$H_K\subset\operatorname{Ker}[p^l]_{V,K}$ и поля
$M$, неразветвленного над
$K$, мы имеем
$H_M\cong (\mu_{p^l,M})^m$.}
Ключевые слова:
конечная групповая схема, модуль Картье, касательное пространство, формальная группа, абелево многообразие, полустабильная редукция, локальное поле.
MSC: 14L15,
14L05,
14G20,
11G10,
11S31 Поступила в редакцию: 10.04.2006