О числах Штифеля–Уитни и полухарактеристике

Доказывается, что числа Штифеля–Уитни компактного гладкого подмногообразия евклидова пространства линейно зависят от характеристической функции множества его ростков (как подмножества множества всех ростков подмногообразий), а полухарактеристика компактного $m$-мерного $v_n$-подмногообразия евклидова пространства, $m+1=2n$, квадратично зависит от характеристической функции множества его ростков (считается, что фиксировано такое непрерывное отображение некоторого топологического пространства в многообразие Грассмана $m$-мерных линейных подпространств объемлющего пространства, что образ класса $Y$ $v_n$ канонического расслоения при индуцированном гомоморфизме равен нулю, и под $v_n$-подмногообразием понимается гладкое подмногообразие, снабженное поднятием в это пространство своего касательного гауссова отображения).