Характеры и инварианты свободных супералгебр Ли

Найдена связь между характерами (производящими функциями) для супералгебр Ли и их универсальных обертывающих. В качестве основного результата получены формулы характеров для свободной супералгебры Ли. Это позволило найти аналоги формулы Витта для размерностей однородных и полиоднородных компонент свободной супералгебры Ли.
В качестве другого приложения изучаются инварианты свободных супералгебр Ли над полем характеристики нуль. Рассмотрим конечную группу $G\subset\mathrm{GL}(V_+)\times\mathrm{GL}(V_-)$, где $V_+=\langle x_1,\dots,x_m\rangle_K$, $V_-=\langle x_{m+1},\dots,x_{m+k}\rangle_K$. Группа $G$ диагонально действует на свободной супералгебре Ли $L$, порожденной четным и нечетным множествами $X_+=\{x_1,\dots,x_m\}$, $X_-=\{x_{m+1},\dots,x_{m+k}\}$. Пусть $Y$ – свободное порождающее множество подалгебры инвариантов $L^G$, и $\mathcal H(Y,t_+,t_-)=\sum_{i,j=0}\infty|Y_{ij}t_+^it_-^j$, где $Y_{ij}$ – множество элементов в $Y$ степеней $i$ и $j$ относительно $X_+$ и $X_-$. Найдена точная формула для производящей функции $\mathcal H(Y,t_+,t_-)$. Получена асимптотика для $|Y_n|$ – числа элементов степени $n$.