Критерии подобия диссипативного интегрального оператора нормальному

Пусть $H$ – сепарабельное гильбертово пространство, $\mu$ – конечная положительная мера на $[0,1]$, $\alpha$ – измеримая $L(H)$-значная функция, и $k(x,s)$ – $L(H)$-значное положительно определенное ядро, для которого $\operatorname{tr}k(x,s)\in L^1(\mu)$. Пусть, кроме того, значения функции $\alpha(x)$ являются самосопряжёнными операторами. Иногда мы будем предполагать $\alpha(x)$ коммутирующими с $k(x,x)$ $\mu$-почти всюду. Определим оператор $A$ формулой
$$ (Af)(x)=\alpha(x)f(x)+\frac12i\mu(\{x\})k(x,x)f(x)+i\int_{[0,x)}k(x,s)f(s)\,d\mu(s). $$

В настоящей работе мы изучаем вопрос о подобии оператора $A$ нормальному оператору. Получены как необходимые, так и достаточные условия подобия. Эти условия оказываются необходимыми и достаточными в случае непрерывной меры $\mu$, а также, если $\operatorname{rank}\operatorname{Im}A=1$.
Предлагаемая конструкция основывается на применении функциональной модели. Ключевым моментом является идея вычислить резольвенту (и характеристическую функцию) оператора $A$ в терминах решения некоторой .задачи Коши, а затем исследовать спектральные свойства исходного оператора, анализируя это решение. Данный подход уже использовался в [14, 16].
Новым в нашем подходе является использование теста, проверяющего линейность роста резольвенты [13, 15]. Этот тест в общем случае требует выполнения так называемого условия равномерной ограниченности следа
$$ \sup_{z\in\mathbb C_+}\operatorname{Im}z\operatorname{tr}[(A^*-zI)^{-1} \operatorname{Im}A(A^*-\overline zI)^{-1}]<\infty. $$
Эти методы позволяют рассмотреть классическую задачу о подобии самосопряженному оператору наравне с задачей подобия нормальному для операторов с невещественным дискретным спектром по существу с одной точки зрения.
Теоремы настоящей статьи обобщают некоторые утверждения из [4, 6, 7, 10].