Геодезические в пространствах Адамара

Пусть $X$ и $Y$ – пространства Адамара, $\partial_{\infty}X$ и $\partial_{\infty}Y$ – их границы на бесконечности. Для каждого квазиизометрического отображения $f\colon X\to Y$ мы определяем его асимптотический предел $s_f$, отображающий $\partial_{\infty}X$ в конус $C_{\infty}Y$ над $\partial_{\infty}Y$, и устанавливаем некоторые его аналитические свойства. В случае, когда $X$ и $Y$ являются кокомпактными пространствами ранга 1 относительно одной и той же дискретной группы изометрий $\Gamma$ и, таким образом, $\Gamma$-эквивариантно квазиизометричны, мы даем достаточное условие того, чтобы $s_f$ было эквивариантным гомеоморфизмом между $\partial_{\infty}X$ и $\partial_{\infty}Y$ относительно стандартных топологий и билипшицевым гомеоморфизмом относительно метрик Титса. Имеется обширный класс эквивариантно квазиизометричных кокомпактиых пространств Адамара, для которых это условие не выполняется и границы которых на бесконечности не являются эквивариантно гомеоморфными. Тем самым дается ответ на один вопрос М. Громова.