О подалгебрах свободных $p$-алгебр Ли

В работе дано новое доказательство теоремы Е. Витта (РЖМат, 1957, №10, 7702) о свободе $p$-подалгебр свободной $p$-алгебры Ли. Схема доказательства применяется для получения формулы $N=p^{j}(n-1)+1$, выражающей ранг $p$-подалгебры через ее коразмерность $j$ и ранг свободной $p$-алгебры $n$. Далее, для свободных $p$-алгебр Ли установлен следующий аналог теоремы А. Хаусона (РЖМат, 1956, № 4, 2810): конечнопорожденные $p$-подалгебры образуют подрешетку решетки всех $p$-подалгебр свободной $p$-алгебры Ли. Тот же результат верен и для конечно-порожденных подалгебр обычной свободной алгебры Ли характеристики $p>0$. Этим вопросом в случае произвольной характеристики интересовались В. А. Парфенов и Б. Баумслаг (J. London Math. Soc. 4, №3 (1972), 523-532).