О нулях в таблицах характеров групп $S_n$ и $A_n$. II

Пусть $P(n)$ – множество всех разбиений натурального числа $n$. В теории представлений симметрических групп для каждого разбиения $\alpha\in P(n)$ определяется разбиение $h(\alpha)\in P(n)$, позволяющее получить определённое множество нулей в таблице характеров группы $S_n$. Ранее автором получен аналог $f(\alpha)$ разбиения $h(\alpha)$, указывающий дополнительное множество нулей в этой таблице. А именно, $h(\alpha)$ – это наибольшее (относительно словарного порядка $\le$) из разбиений $\beta$ числа $n$ таких, что $\chi^\alpha(g_\beta)\ne0$, а $f(\alpha)$ – это наибольшее из разбиений $\gamma$ числа $n$, знак которых противоположен знаку $h(\alpha)$ итаких, что $\chi^\alpha(g_\gamma)\ne0$, где $\chi^\alpha$ – неприводимый характер группы $S_n$, индексированный разбиением $\alpha$, $g_\beta$ – элемент класса сопряжённых элементов группы $S_n$, индексированного разбиением $\beta$.
Здесь для $\alpha\in P(n)$ при указанных ниже естественных ограничениях строятся два новых разбиения $h'(\alpha)$ и $f'(\alpha)$ числа $n$, обладающие следующими свойствами.
(А) Пусть $\alpha\in P(n)$ и $n\geqslant 3$. Тогда $h'(\alpha)$ имеет тот же знак, что и $h(\alpha)$, $\chi^\alpha(g_{h'(\alpha)})\ne0$, но $\chi^\alpha(g_\gamma)=0$ для всех $\gamma\in P(n)$ таких, что знак $\gamma$ совпадает со знаком $h(\alpha)$ и $h'(\alpha)<\gamma<h(\alpha)$.
(Б) Пусть $\alpha\in P(n)$, $\alpha\ne\alpha'$ и $n\geqslant4$. Тогда $f'(\alpha)$ имеет тот же знак, что и $f(\alpha)$, $\chi^\alpha(g_{f'(\alpha)})\ne0$, но $\chi^\alpha(g_\gamma)=0$ для всех $\gamma\in P(n)$ таких, что знак $\gamma$ совпадает со знаком $f(\alpha)$ и $f'(\alpha)<\gamma<f(\alpha)$.
Полученные результаты применяются к изучению пар полупропорциональных неприводимых характеров знакопеременной группы $A_n$.