О наднильпотентных радикалах $(-1,1)$-колец

Доказано, что если $R$ — $\Phi$-операторное $(-1,1)$-кольцо $\left(\Phi\ni 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$, $\mathfrak{I}$ —идеал в $R$, $M$ — идеал в $\mathfrak{I}$ и фактор-кольцо $\overline{\mathfrak{I}}=\mathfrak{I}/M$ полупервично, то $M$ — идеал кольца $R$. Отсюда следует, что для любого наднидьпотентного радикала $S$ в классе $(-1,1)$-колец идеал $S$-полупростого кольца $S$-полупрост.