Аннотация:
Пусть $G$ — конечная группа, $d(G)$ — минимальное число ее
порождающих и пусть $G$ изоморфна фактор-группе $F/R$, где $F$ —
свободная группа с $d(G)$ порождающими. Группа $\overline{R}=R/[R,R]$,
является $\mathbb{Z}G$-модулем относительно естественного действия $G$. Он
называется минимальным модулем соотношений группы $G$. Если $p$ —
максимальное проективное прямое слагаемое модуля $\overline{R}$, то модуль
$Q\otimes_{\mathbb{Z}}P$ изоморфен прямой сумме $s$ экземпляров
$\mathbb{Q}G$. Число $s=pr(G)$ не зависит от выбора минимального модуля
соотношений. Доказывается, что $pr(G)=d(G)-\mu$, где $\mu$ —
минимальное число $\mathbb{Z}G$-порождающих разностного идеала группового
кольца $\mathbb{Z}G$. В качестве теоретико-группового следствия выводится,
что $d(G)\leqslant\max(d(G_{p})+1)+pr(G)$, где $G_{p}$ пробегает силовские
$p$-подгруппы по всем простым числам, делящим порядок $G$. В заключение
дается оценка числа порождающих минимального модуля соотношений.