Характеризация знакопеременных групп. II

Пусть $G$ – группа. Подмножество $X$ группы $G$ будем называть $A$-подмножеством, если $X$ состоит из элементов порядка 3, $X$ инвариантно в $G$ и любые два неперестановочных элемента из $X$ порождают подгруппу, изоморфную $A_4$ или $A_5$. Пусть $X$ – $A$-подмножество в $G$. Определим неориентированный граф $\Gamma (X)$ с множеством вершин $X$, в котором две вершины смежны в том и только в том случае, если они порождают подгруппу, изоморфную $A_4$.
Теорема 1. Пусть $X$ – непустое $A$-подмножество группы $G$.
$1)$ Пусть $C$ – компонента связности графа $\Gamma (X)$ и $H=\langle C\rangle$. Если в $H\cap X$ нет двух элементов, порождающих подгруппу, изоморфную $A_5$, то $H$ содержит нормальную элементарную абелеву $2$-подгруппу индекса $3$ и подгруппу порядка $3$, совпадающую со своим централизатором в $H$. В противном случае $H$ изоморфна знакопеременной группе $A(I)$ некоторого (возможно, бесконечного) множества $I$, $|I|\geqslant 5$.
$2)$ Подгруппа $\langle X^G\rangle$ является прямым произведением подгрупп $\langle C_\alpha\rangle$, порождённых некоторыми компонентами связности $C_\alpha$ графа $\Gamma(X)$.
Теорема 2. Пусть $G$ – группа и $X\subseteq G$ – непустое $G$-инвариантное множество элементов порядка 5 такое, что любые два неперестановочных элемента из $X$ порождают подгруппу, изоморфную $A_5$. Тогда $\langle X^G\rangle$ – прямое произведение групп, каждая из которых либо изоморфна $A_5$, либо является циклической группой порядка $5$.