Сегменты рекурсивно-перечислимых $m$-степеней

Полученное Лахланом описание начальных сегментов верхней полурешетки рекурсивно-перечислимых (р. п.) $m$-степеней (РЖМат, 1973, 4А95) распространяется на произвольные сегменты этой полурешетки. А именно доказано, что произвольный сегмент р. п. $m$-степеней удовлетворяет условию Лахлана (необходимое и достаточное условие из указанной выше статьи, которому удовлетворяют верхние полурешетки, изоморфные начальным сегментам р. п. $m$-степеней). Доказано, что для любой неполной р. п. $m$-степени $a$ и любой верхней полурешетки $F$, удовлетворяющей этому условию Лахлана, существует р. п. $m$-степень $u$ такая, что $a\leqslant u$, для любой р. п. $m$-степени $x$, если $x\leqslant u$, то $x\leqslant a$ или $a\leqslant x$, и сегмент, образованный множеством р. п. $m$-степеней $\{x\mid a\leqslant x\leqslant u\}$, изоморфен $F$.