Вложения в простые ассоциативные алгебры

Доказывается, что произвольную ассоциативную алгебру можно вложить в простую ассоциативную алгебру, являющуюся суммой трех нильпотентных подалгебр. Это дает отрицательный ответ на вопрос III.12 из “Днестровской тетради” (Кишинев, 1968). Пусть $k$ — произвольное поле, $A$, $K_1$, $K_2$, $K_3$ — ненулевые ассоциативные алгебры над $k$ такие, что $|A|\leqslant |K_1\ast K_2\ast K_3|$ и $\dim K_1* K_2*K_3\geqslant |k|$. Тогда алгебра $A$ вложима в простую ассоциативную алгебру $\mathfrak{A}$, порожденную своими подалгебрами $K_1$, $K_2$, $K_3$. Доказывается также теорема о вложении произвольной ассоциативной алгебры $A$ в простую алгебру $\mathfrak{A}$ вида $\mathfrak{A}=K_{1}+\ldots+K_{4}$, где $K_i$ — некоторые алгебры (например, с нулевым умножением).