О частично упорядоченных множествах $1$-степеней, содержащихся в рекурсивно-перечислимых $m$-степенях

Пусть $L(A)$ обозначает частично упорядоченное множество $1$-степеней, содержащихся в $m$-степени рекурсивно-перечислимого нерекурсивного множества $A$. Доказывается, что если $A$ — простое множество, то $L(A)$ не является ни верхней, ни нижней полурешеткой. Если $A$ не является цилиндром, то $L(A)$ содержит два несравнимых элемента, точная верхняя грань которых является наибольшим элементом $L(A)$. Существует $A$ такое, что $L(A)$ является плотной решеткой. Для каждого $n\geqslant 1$ существует $A$ такое, что $L(A)$ содержит в точности $n$ минимальных элементов.