О произведении двух групп с нильпотентными подгруппами индекса, не превосходящего $2$

Пусть конечная группа $G$ является произведением двух своих подгрупп $A$ и $B$ , т. е. $G=AB$. Предположим, что в $A$ есть нильпотентная подгруппа $H$ индекса $\leqslant 2$, а в $B$ есть нильпотентная подгруппа $K$ индекса $\leqslant 2$. Доказана разрешимость такой группы $G$ в каждом из следующих случаев: 1) $K$ примарная, 2) $K$ циклическая, 3) $B$ дедекиндова, 4) $A=H$ и все подгруппы из $K$ инвариантны в $B$.