О группах с фробениусовыми парами сопряженных элементов

Группа $G$ вида $G=F\leftthreetimes H$ называется группой Фробениуса с неинвариантным множителем $H$, если $H\cap g^{-1}Hg=1$ для любого $g\in G\setminus H$ и $F\setminus 1=G\setminus\bigcup_{g\in G}g^{-1}Hg$. Пусть $G$ — группа, $H$ — её собственная подгруппа, $a\in H$ и $a^2\ne1$, причём $\text{гр}(a,g^{-1}ag)$ — группа Фробениуса с неинвариантным множителем $(a)$ для всех $g\in G\setminus H$. Тогда 1) $G=F\leftthreetimes N_G((a))$; 2) отображение $\alpha_a: F\to F$, задаваемое формулой $\alpha_a(f)=a^{-1}f^{-1}af$, и его ограничение на $F\cap H$ взаимно-однозначны. При дополнительном условии, что элемент $a$ имеет простой порядок, этот признак непростоты был получен ранее В. П. Шунковым (РЖМат, 1978, 7А286).