Постановочная характеризация некоторых групп Матье

Пусть $G$ — группа подстановок на конечном множестве $\Omega$. Число $\ell$ выбирается так, чтобы стабилизатор $U$ некоторых $\ell$ точек был нетривиален, а стабилизатор любых $\ell+1$ точек тривиален; $s_1(U)$ — это такое число, что стабилизатор некоторых $\ell-s_1(U)$ точек строго содержит $U$, а стабилизатор любых $\ell-s_1(U)+1$ точек, стабилизируемых $U$, совпадает с $U$. Доказано, что если $\ell\geqslant 2$, $G\ne O^2(G)$, стабилизатор $U$ некоторых $\ell$ точек имеет четный порядок, $s_1(U)=1$ и $N_G(U)/U\simeq S_\ell$, то $\ell\leqslant 4$ и либо силовская $2$-подгруппа из централизатора некоторой инволюции имеет порядок $16$, либо силовская $2$-подгруппа из $G$ диэдральна, полудиэдральна или является расширением $Q_8$ с помощью $D_8$. Для того чтобы простая транзитивная группа подстановок $G$ удовлетворяла этим условиям, необходимо и достаточно, чтобы $G$ была подстановочно изоморфна одной из следующих транзитивных групп: $A_5$, $|\Omega|=6$ или $10$; $L_2(q)$, $q\equiv1\pmod4$, $|\Omega|=q+1$, $q\geqslant 9$; $L_2(11)$ или $M_{11}$, $|\Omega|=11$; $M_{11}$, $M_{12}$, $|\Omega|=12$.