О критических кольцах и многообразиях алгебр

Доказывается, что в следующих случаях конечное кольцо $R$ является критическим, т.е. не принадлежит многообразию, порожденному собственными подкольцами и фактор-кольцами: $R$ — локальное кольцо и его радикал Джекобсона — критическое кольцо; $R$ не обязательно ассоциативно и пересечение $M$ всех ненулевых идеалов $R$ удовлетворяет условию $M^2\ne0$; $R$ не обязательно ассоциативно и кольцо $M_m(R)$ матриц порядка $m$ над $R$ критическое; $R=M_m(S)$, $S$ — коммутативное критическое кольцо с единицей. Пусть $\mathbb{Z}_p$ — кольцо порядка $p$ с нулевым умножением. Показывается, что многообразие $Var\,(GF(p)\oplus\mathbb{Z}_p)$ не порождается одной критической алгеброй. Доказывается, что многообразие $\mathfrak{M}$ алгебр над счетным полем характеристики нуль содержит конечно-порожденную нехопфову алгебру, изоморфную своей собственной фактор-алгебре тогда и только тогда, когда в $\mathfrak{M}$ содержится несчетное семейство попарно неизоморфных конечно-порожденных алгебр.