Два замечания о групповом свойстве Хаусона

Говорят, что группа обладает свойством Хаусона, если пересечение любых двух ее конечно-порожденных подгрупп — снова конечно-порожденная подгруппа. Доказывается, что никакое расширение свободной группы конечного ранга $\geqslant2$ посредством бесконечной циклической группы не обладает свойством Хаусона (теорема $1$). Группа с одним определяющим соотношением $\text{гр}(x, F\parallel x^{-1}ux=v) $, где $F$ — свободная группа, $u,v\in F\setminus\{1\}$ и из $u$ нельзя извлечь в $F$ корня степени $\geqslant2$, обладает свойством Хаусона (теорема $2$).